初めに気になったところ
調和解析とは何ですか。
急減少関数の連続な線型汎函数が、緩増加超関数です。
なかなか証明が始まりません。
Hilbert変換、Riesz変換、分数階積分作用素に関する具体的な斉次関数のFourier変換は、後の2.5節で述べる。
定理2.6のmが有界関数になるかどうか調べることは特異積分作用素の理論などでひとつの要点になる。
どの数式を書きますか。数式や証明が多く並んでいます。
次の定理は、定理2.6と逆に、0次斉次関数mが与えられたとき\(m=(p.v.k) \textasciicircum \)を満たす-n次の斉次関数kが存在することを主張するものである。
\({\| M(f) \|}_{1,weak} \leq c {\| f \|}_{1}\)
Calderón-Zygmund分解とはどういうことですか。
gはfの”良い部分”(good part)、bはfの”悪い部分”(bad part)である。
b=0だと嬉しいのですか。
悪い部分は各立方体上のfの平均値からの差です。
良い部分は各立方体上ではfの平均値、立方体の外側ではfの値そのままです。
立方体はfの平均値が大きいところで定義します。fの値があまり大きくないところは良い部分です。
立方体は２進立方体です。
Hörmander条件を満たせば、諸々の評価が得られます。その証明にCalderón-Zygmund分解が使われます。
２進立方体は辺の長さと位置で決まります。
Marcinkiewiczの補間定理
ハーディ空間とは何ですか。
正則関数のHardy空間とは何ですか。
これはHardy-Littlewoodが最初に最大関数を導入したときの応用であった。
逆向きの不等号\( {\| F \|}_{\textbf{H}^p (D)} \lesssim {\| U^* \|}_{L^p (D)} \)は、Burkholder-Gundy-Silversteinが発見したもので、これがその後の実関数論的なHardy空間の理論の発展の契機になった。
Hardy空間はなぜ考えられるに到ったのですか。
論文[44]はHardy空間の理論においてひとつの時代を画するものである。
開円盤上の正則関数を考えます。この正則関数にあるノルムを入れて、Hardy空間が作られます。
開円盤上の正則関数から開円盤上の調和関数の話にします。
開円盤上の調和関数から\({\mathbb{R}^n}\times (0,\infty)\)上の調和関数の話にします。
\({\mathbb{R}^n}\times (0,\infty)\)上の調和関数の境界値として得られる緩増加超関数が実関数論の方法だけで特徴付けられます。
Littlewood-Paley理論
これからつながるところ
調和関数と劣調和関数
これからつながるところ
補間理論、特異積分
これからつながるところ
コメント