アラケロフ幾何について

手に取った森脇さんの本、私には難解です。うがいをする。道具が、ここにいるよん。。。。まだいるけど、ここ以外だよん。。。。いつも、連絡が遅いので、もうええんちゃうかと思いきや、私の携帯にタッチされたのが、ポインtoだった、、、「まだジーは働いてない」.見えない力が働いても、別にどうでも良い。温かい時間があればそれだけでじゅうん

おんぶ、C線とは、何？ＱＰしないの？

完備な空間に稠密に埋め込みをすると何が得なのか？

完備な空間に稠密であれば、QPしないの？ソボ。一つ期待できることは、何か条件が必要だろうが、層を押し出せること。完備だと、微分積分が使える！てことでホッジへの連絡が完了した。

冒頭、アラケロフ幾何は数論幾何学の一分野である、てことらしいです。

部分多様体のトポロジーをどうやって指定するのか、と問えば、チャウとドナが見えてきます。レフシェッツの跡公式、不動点定理、detがsumとexpとtraceから出来る。

p-進ホッジ理論におけるセミステーブル表現のフル・フェイスフル性（忠実充満性）と、モノドロミー演算子 N が消滅する場合の結晶表現への帰着に関する重要な命題ですね。

\( \textbf{Proposition 9.2.14.} \) The functor \( D_{\text{st}} : \text{Rep}_{\mathbb{Q}_p}^{\text{st}}(G_K) \to \text{MF}_{K}^{\varphi, N} \) is fully faithful, with quasi-inverse on its essential image given by \( V_{\text{st}} \).

Note also that if \( D \in \text{MF}_{K}^{\varphi, N} \) with \( N_D = 0 \) (i.e., \( D \in \text{MF}_{K}^{\varphi} \)) then \( V_{\text{st}}(D) = V_{\text{cris}}(D) \) because \( B_{\text{st}}^{N=0} = B_{\text{cris}} \).

楕円曲線のホッジ・アラケロフで十分。。。他は雑談でございます。。。

同じアラケロフって名称に付いてる匂いに、するする引き寄せられ辿り着いた、楕円曲線のホッジ・アラケロフ理論の論文に書かれていることと同じ内容なのかな。アポロの？QPしないの？可積分QPしないの？

an onion was

カイト

Entropy、が定義されていたので、寒いで、がきた。同じこと、、、という音が響いた。

完備化、QPしないの？p-進ホッジ理論

The crystalline site \( (X/S)_{\text{cris}} \) consists of objects \( (U, T, \iota, \delta) \), where \( U \subseteq X \) is an open subscheme, \( T \) is an \( S \)-scheme, and \( \iota : U \hookrightarrow T \) is a divided power thickening of \( U \). A crystal on this site is a sheaf \( \mathcal{F} \) such that for any morphism \( g: T \to T’ \), the transition map \( g^* \mathcal{F}_{T’} \to \mathcal{F}_T \) is an isomorphism.

One consequence of the injectivity of \( j \) and the commutativity of the diagram is that \( A_{\text{cris}} \) really is a domain and \( A_{\text{cris}}^0 \to A_{\text{cris}} \) is indeed injective.

格子

Proposition 9.1.11. The exact tensor-functor \( D_{\text{cris}} : \text{Rep}_{\mathbb{Q}_p}^{\text{cris}}(G_K) \to \text{MF}_K^{\varphi} \) is fully faithful, with inverse on its essential image given by \( V_{\text{cris}} \). The same holds for the contravariant \( D_{\text{cris}}^* \) using the contravariant functor \( V_{\text{cris}}^*(D) = \text{Hom}_{\text{Fil}, \varphi}(D, B_{\text{cris}}) \).

p-進ホッジ理論において、結晶表現（crystalline representations）の幾何学的な動機付けを説明する非常に重要な一節ですね。

To motivate what is to be done, we recall that crystalline representations are meant to capture (among other things) the \( p \)-adic \( \text{étale} \) cohomology of smooth proper \( K \)-schemes \( X \) with good reduction.

p-進ホッジ理論において、表現 ( V ) が結晶的（crystalline）であるときに、\( D_{\text{cris}}(V) \)から \( V \) を復元できるという「淡中圏的な双対性」の核心部分ですね。

To see how useful this is, we finally come to the key point of the story: we can recover \( V \) from \( D_{\text{cris}}(V) \) when \( V \) is crystalline!

p-進ホッジ理論における**表現の包含関係（階層構造）**をまとめた非常に重要な一文ですね。

To summarize: \[ \text{crystalline} \Longrightarrow \text{semistable} \Longrightarrow \text{de Rham} \Longrightarrow \text{Hodge-Tate}. \]

アルキメデス的な点をスキームに取り込む話らしいのですが、これで何が解き明かされるのでしょう。

QPしないの？今のところは、とりあえず、ディオファントス方程式について、解が一網打尽に計算できるアルゴリズムや、解がどのくらいあるのか何もないのか、がわかるようになる、と期待をすることにしますが、別の結論になることでしょう。

The constant crystal \( \mathcal{O}_{X/S} \) is defined on the crystalline site \( \text{Cris}(X/S) \).

A \( p \)-adic representation \( V \) is called crystalline if \( D_{\text{cris}}(V) \) has the same dimension as \( V \).

p-進ホッジ理論におけるセミステーブル表現（semistable representation）と、その比較同型、および結晶表現との関係についての重要な箇所ですね。

Much like in our analysis of \( D_{\text{cris}} \), we also see that the faithful functor
\[ D_{\text{st}} : \text{Rep}_{\mathbb{Q}_p}^{\text{st}}(G_K) \to \text{MF}_{K}^{\varphi, N} \]
is an exact functor compatible with tensor products and duals (endowed with their natural filtrations). Likewise, the \( B_{\text{st}} \)-linear \( G_K \)-equivariant Frobenius-compatible and \( N \)-compatible semistable comparison isomorphism
\[ \alpha : B_{\text{st}} \otimes_{K_0} D_{\text{st}}(V) \simeq B_{\text{st}} \otimes_{\mathbb{Q}_p} V \]
is seen to be an isomorphism with respect to the filtration structures after scalar extension to \( K \) (i.e., \( \alpha_K \) and \( \alpha_K^{-1} \) are filtration-compatible).

\(\textbf{Lemma 9.2.12.} \) Crystalline representations are semistable, and \( D_{\text{cris}}(V) = D_{\text{st}}(V) \) in \( \text{MF}_{K}^{\varphi, N} \) for all \( V \). If \( V \) is semistable and \( D_{\text{st}}(V) \) has vanishing monodromy operator then \( V \) is crystalline.

セミステーブル環 \( B_{\text{st}} \) や結晶指標（crystalline character）に関する非常に高度な議論ですね。

Consider the identity \[ \psi(g)b = g(b) = g(b_0) + g(b_1)(X + \eta(g)t) + \dots + g(b_r)(X + \eta(g)t)^r \] in \( B_{\text{st}} \) for \( g \in G_K \). Comparing top-degree terms in \( X \) gives \( \psi(g)b_r = g(b_r) \), so \( b_r \) spans a \( G_K \)-stable \( \mathbb{Q}_p \)-line in \( B_{\text{cris}} \). The character \( \psi \) is continuous, by the same trick with \( t\mathbb{Z} \)-scaling and projection into \( C_K \) as in the proof of \( (\mathbb{Q}_p, G_K) \)-regularity of \( B_{\text{cris}} \) in Proposition 9.1.6. Hence, \( \psi \) is a continuous character that appears in \( B_{\text{cris}} \), so it is a crystalline character of \( G_K \). As such \( \psi \) is Hodge–Tate, so it has some Hodge–Tate weight \( n \in \mathbb{Z} \). Thus, \( \chi^{-n}\psi \) is a crystalline character with Hodge–Tate weight 0. The proof of Proposition 8.3.4 relied on properties of \( B_{\text{cris}} \) and \( D_{\text{cris}} \) that have been established in the preceding developments, and so its conclusion may be applied: \( \chi^{-n}\psi \) is a Tate twist of an unramified character of \( G_K \). But \( G_K = I_K \) since now \( k \) is algebraically closed, and so the vanishing of the Hodge–Tate weight means that there is no Tate twist at all: \( \chi^{-n}\psi = 1 \).

これは宇宙際タイヒミュラー理論への通り道で見つけました。

ABC予想\(\to\)スピロ予想\(\to\)フェルマーの最終定理\(\to\)\(\to\)

セール予想\(\to\)フライ予想\(\to\)フェルマーの最終定理\(\to\)\(\to\)

「高さ関数」がキーだ。

算術曲面、算術多様体の交叉理論が、わかれば、これは、特異コホモロジー環の、、、QPしないの？これが、ディオの答えだ。カルティエ因子に伴う可逆層、QPしないの？因子群、QPしないの？

In the general version of the main theorem, we must use line bundles – which play the role of the line bundle ( L ) in Theorem ( A_{\text{simple}} ) – equipped with a metric as in [Zh] in a neighborhood of the divisor at infinity ( D \subseteq S ).

体積関数、小平を使うのは、ここだけ、Uナ、スケール変換に対する応答が体積チック

類似と差異、QPしないの？

今、ヘンナオトノナリカタデシタ。GreenカレントがQPになる時が、ループを命じ

ＱＰしないの？武器は鳥。

チョコレートにする。熱や拡散のような、、、ＱＰしないの？何かの伝播関数は、、、

仮にgreen、QPしないの？QPしないの？この本、

QPしないの？パルスは？QPしないの？の時間発展がわかれば、、、熱平衡になったとき、関数は正則に変身。もう分かると思います。

https://ja.wikipedia.org/wiki/ホッジ・アラケロフ理論

望月の主要な結果であるホッジ・アラケロフ理論の比較定理は、（大まかには）標数 0 の滑らかな楕円曲線の普遍拡大上の次数が d 未満の多項式の空間は、自然に d–捩れ点上の函数の d²-次元空間に（制限によって）同型となるという定理である。

M から M_S への標準的な準同型が存在し、その核がちょうど M の S-捩れ部分加群となる。したがって、M の捩れ部分加群は、「局所化したときに消える」元全体の集合と解釈することができる。同じ解釈が、非可換な場合にも、Ore 条件を満たす環に対して、あるいはより一般に、右支配的集合 S と右 R-加群 M に対して、成り立つ。ＱPしないの？

楕円曲線上では、捩れ元は分割多項式（英語版）(division polynomials)の項として計算される。

つまり, 我々 が目標を達成するためになすべきことは, 考察下の数論的直線束の次数の計算の仕組みを適切に単解的な形に 表現し直すことだと言えます. U、楕円曲線の場合、、、因子は点だ。因子は可逆層だ。カルティエだと、局所方程式。補題4.25。中山さん