究極の物理理論をつくるには、お互いに矛盾しているように見える一般相対性理論と量子力学を混ぜ合わせて、辻褄を合わせなければならない、ということはわかります。ループ量子重力理論や超弦理論は、そのような究極の物理理論の候補です。超弦理論の方は少しわかっているつもりですが、ループ量子重力理論の方は、これまでも気にはなっていましたが、ずっと手をつけられずにきました。超弦理論とあわせて、ループ量子重力理論についてもそろそろ理解を深めたいです。
上のリンクは、グーグルスカラーでキーワード「loop quantum gravity」検索し、一番先頭に出てきた論文です。いきなり論文を読みたいところですが、私にはハードルが高いので、これらを深く理解するための、優しい道案内を探しています。
ループ量子重力理論では、時空が連続的ではなく離散的な値を取ると考えられてます。インターネットで調べたところ、ループ量子重力理論では時空を離散的なものにするために、スピンネットワークやAshtekar理論というものを使っているようですが、これは一体どんなものでしょうか。とりあえずスピンネットワークやAshtekar理論を道案内にして、ループ量子重力理論に近づこうと試みます。
Ashtekar理論
例えば、私の日常的な意識を、量子論の観測に見立てる
勘違い
M
主G束
表現
トライアド
脚場
ボソン
ヤン・ミルズneyo
弾性
ウィルソンループ（ホロノミー）
ホロノミーというと微分方程式で手に入るものだと思っていました。しかし、積分の形で書かれている記事を、ループ量子重力理論のについて検索すると目にします。微小な平行移動を足し合わせ
Gilesの定理
Giles’ Reconstruction theorem of gauge potentials from Wilson loops
An important theorem about Yang–Mills gauge theories is Giles’ theorem, according to which if one gives the trace of the holonomy of a connection for all possible loops on a manifold one can, in principle, reconstruct all the gauge invariant information of the connection.[2]That is, Wilson loops constitute a basis of gauge invariant functions of the connection. This key result is the basis for the loop representation for gauge theories and gravity.
connection
Mat
すごいいっぱい山のようにありすぎるので、異なるループから同一の
基底
運動
状態\(|\rangle\)
ループごとに係数を求めて展開
ループ量子重力理論において「ループごとに係数を求めて展開する」とは、主にスピンネットワークやスピンフォームの形式で現れる量子状態や遷移振幅の解析を指します。
特にスピンフォームモデルでは、パス積分の評価の際に各ループ（閉じた経路）に対応する寄与を係数として求め、摂動展開や系列展開を行います。この係数は、結合定数、幾何学的量、絡み合い構造などに依存します。
具体的な計算は、
- スピンネットワークのラベル付け
- 交差点や頂点での絡み合いの関係
- ホロノミーと面積演算子の作用
などを考慮して展開されます。
さらに詳しい部分について知りたい場合は、特定の方程式やモデルを教えてください。
基点
スピンネットワークとスピンフォーム
何回勉強しても分かった気になれない繰り込み理論が分かるような、助けになるのでは。本当は時空はとびとびだった、という話です。周りの見渡す限り、風景はとびとびではなく、ぎっしり埋め尽くされているように感じます。道やループを考えるということは、偽物の連続した空間が必要なように感じられます。スピンネットワークとは、何を頂点と辺に割り当てているのでしょうか。
ループ量子重力理論におけるスピンネットワークは、時空の量子状態を記述するための数学的構造です。この理論では、時空は連続的なものではなく、離散的な構造を持つと考えられています。スピンネットワークは、ノード（点）とエッジ（線）からなるグラフで構成され、各エッジにはSU(2)群のスピン表現（整数または半整数の”スピン”）が割り当てられます。ノードはエッジの接続点であり、量子幾何学的な情報、例えば面積や体積と関連しています。
この構造を通じて、面積や体積などの幾何学的量が量子化されることが示され、時空自体が最小単位を持つことが示唆されます。スピンネットワークは、ループ量子重力理論の核心的な概念であり、時空の量子幾何学的性質を理解するための重要な枠組みです。
面積
微細構造定数
ケイタイ
3
ウィーラー・ドウィット方程式（Wheeler-DeWitt方程式）は、量子重力理論の枠組みで使われる基本的な方程式です。この方程式は、ジョン・アーチボルド・ウィーラーとブライス・ドウィットによって提案され、一般相対性理論と量子力学を統合する試みの一環として登場しました。
この方程式は、時間に依存しないシュレーディンガー方程式のような形をしており、宇宙全体の「波動関数」を記述します。そのため、「宇宙の波動方程式」とも呼ばれることがあります。特徴的なのは、時間変数が明示的に存在しないことで、これは「時間の消失問題」として知られる量子重力特有の課題を示しています。
方程式の一般的な形は次のように表されます：
$$ \hat{H} \Psi = 0 $$
ここで：
- \( \hat{H} \) はハミルトニアン制約演算子です。
- \( \Psi \) は宇宙の波動関数（または波動汎関数）です。
この方程式の解を求めることは非常に難しく、現在でも多くの研究が続けられています。ウィーラー・ドウィット方程式は、ループ量子重力やホログラフィック原理などの現代物理学の研究にも影響を与えています。
ループ量子重力理論における「作用」とは、物理系のダイナミクスを記述するための重要な概念で、場の理論や一般相対性理論でも用いられる「作用原理」に基づいています。具体的には、ループ量子重力では重力場を記述するために、アシュテカル変数（接続と密度付き三角測地線）を用いた形式化が行われます。
ループ量子重力の作用は、一般相対性理論のハミルトニアン制約を量子化する過程で重要な役割を果たし、空間の離散構造（スピンネットワーク）や時空の離散的な進化（スピンフォーム）を導き出します。この作用は、パラメトリックな時空の背景に依存しない形式で表現され、重力場の量子力学的な挙動を記述するための出発点となります。
具体的な数式としては、一般相対性理論のホルスト作用（Holst action）が基盤となり、そこにバリアンツェータパラメータ（Barbero-Immirzi parameter）などが登場します。
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